Jarak Antara Titik dan Garis pada Bangun Ruang

Konsep jarak antara titik dan garis pada pembahasan geometri umumnya dan pada pembahasan bangun ruang khususnya didasari oleh konsep jarak antara dua titik. Let's check out! Misalkan diketahui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), pada koordinat cartesius digambarkan sebagai berikut.

Jarak kedua titik ini sama dengan panjang ruas garis AB. Untuk mendapatkannya kita memerlukan bantuan ruas garis lain. Pada contoh ini kita gunakan ruas garis AC dan BC sehingga segitiga ABC membentuk segitiga siku-siku. Berarti sisi AB merupakan hipotenusa dari segitiga siku-siku tersebut. Apa yang kamu pikirkan mungkin sama dengan gambar di bawah ini atau mungkin beda. Tapi yang pasti kita akan mendapatkan hasil akhir yang sama.

Dari segitiga siku-siku ABC pada gambar di atas panjang AC adalah x2-x1 sedangkan panjang BC adalah y2-y1. Menurut teorema pythagoras, kita akan mendapatkan panjang ruas garis AB sebagai berikut.

Penjelasan di atas menggambarkan bahwa penyelesaian masalah jarak akan sering berhubungan dengan penggunaan teorema pythagoras.

Mari kita bahas konsep jarak antara titik dan garis secara umum. Bantuan yang diperlukan pada konsep ini adalah teorema pythagoras dan trigonometri khususnya aturan cosinus.
Misalkan diketahui titik A dan garis g sebagai berikut.

Kalau kita buat garis yang melalui titik A dan memotong tegak lurus garis g akan diperoleh gambar sebagai berikut.

Jarak antara titik A dan garis g adalah panjang ruas garis yang tegak lurus garis g dari titik A ke perpotongan ruas garis tersebut dengan garis g. Kita misalkan titik potongnya adalah A'. Ruas garis yang dimaksud digambarkan dengan warna biru sebagai berikut. Secara sederhana, dapat dikatakan juga bahwa jarak antara titik A dan garis g adalah jarak antara titik A dan proyeksi titik A pada garis g. Proyeksi titik A pada garis g adalah titik A'. Jadi, jarak antara titik A dan garis g sama dengan panjang ruas garis AA'.

Untuk menentukan panjang ruas garis tersebut, kita buat segitiga ABC sebagai berikut.

Segitiga ABC tersebut merupakan segitiga sembarang yang diketahui panjang sisi-sisinya. Perhatikan bahwa segitiga ABA' merupakan segitiga siku-siku. Panjang AA' bisa diperoleh dengan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut.

Panjang A'B belum diketahui, berarti tugas kita adalah mencari panjang A'B tersebut. Pada segitiga ABC tersebut berlaku aturan cosinus sebagai berikut.

Dan dari segitiga ABA' kita peroleh perbandingan cosinus sebagai berikut.

Dari kedua persamaan di atas, apabila disubstitusi akan diperoleh bentuk sebagai berikut.

Substitusi A'B ke

untuk mencari panjang AA'.

Akhirnya kita mendapatkan jarak antara titik A dan garis g secara umum. Pada penyelesaian soal, rumus yang digunakan adalah rumus akhirnya saja, yaitu rumus sebagai berikut.
dengan

Untuk kasus khusus, mencari jarak antara titik dan garis akan lebih mudah lagi. Kasus khusus yang dimaksud adalah ketika segitiga yang dibuat merupakan segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, atau segitiga sama sisi. Perhatikan kasus-kasus khusus berikut ini.

Segitiga siku-siku

Untuk mencari jarak antara titik A dan garis BC pada gambar di atas, kita bisa menggunakan rumus luas segitiga dengan mengambil alas yang berbeda.
Jika kita ambil sisi AB sebagai alas, rumus luas segitiga siku-siku ABC di atas adalah sebagai berikut.

Jika kita ambil sisi BC sebagai alas, rumsu luas segitiga siku-siku ABC di atas adalah sebagai berikut.

AA' adalah panjang yang ingin kita cari. Apabila kita subsitusi kedua rumus luas segitiga di atas, kita akan memperoleh bentuk sebagai berikut.

Segitiga sama kaki atau segitiga sama sisi

Perhatikan bahwa pada segitiga di atas, panjang AB sama dengan panjang AC. Sehingga AA' merupakan garis tinggi segitiga ABC di titik A dan memotong sisi BC dan membagi BC menjadi dua bagian yang sama panjang. Panjang AA' bisa kita peroleh dengan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut.

Contoh soal dan pembahasan
Soal Pertama
Pada limas beraturan T.ABCD diketahui panjang AB=12cm dan TA=18cm. Jika P titik potong AC dan BD maka jarak titik T ke P adalah...
Jawaban
Sketsa gambarnya sebagai berikut.

Perhatikan bahwa segitiga APT merupakan segitiga siku-siku dengan panjang AT=18 dan AP=1/2AC=6akar2 (dari teorema pythagoras). TP bisa dicari dengan menggunakan teorema pythagoras berikut.

Soal Kedua
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6cm. Jarak titik A ke garis CF adalah...
Jawaban
Sketsa gambarnya sebagai berikut.

Perhatikan bahwa segitiga ACF merupakan segitiga sama sisi. Jarak antara titik A dengan garis CF adalah panjang ruas garis dari titik A ke A'. Segitiga ACA' merupakan segitiga siku-siku. Panjangnya bisa kita peroleh dengan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut.

Soal Ketiga
Diketahui kubus dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah...
Jawaban
Sketsa gambarnya sebagai berikut.

Perhatikan bahwa segitiga MAG merupakan segitga sama kaki. Jarak antara titik M dan garis AG sama dengan panjang ruas garis MM'. Panjang garis ini bisa dicari dengan menggunakan teorema pythagoras dengan terlebih dahulu kita cari panjang AM.

Sekian pembahasan mengenai jarak antara titik dan garis pada bangun ruang. :-D

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

KOMENTAR

Tulisan Terkait

DMCA.com Protected by Copyscape Web Copyright Checker